Геометрия, Подобные треугольники, отношение площадей, и их площади относятся.

Геометрия, Подобные треугольники, отношение площадей, и их площади относятся.

Если треугольники подобны, то их стороны пропорциональны. Пусть соответствующие стороны треугольников имеют длины a, b и c, и a', b' и c'. Тогда отношение площадей треугольников равно отношению квадратов соответствующих сторон:

S/S' = (a^2 + b^2 + c^2)/(a'^2 + b'^2 + c'^2) = 9/16

Так как треугольники подобны, то отношение сторон равно отношению площадей:

a/b = a'/b' = c/c' = k

Тогда:

a = kb b = ka' c = kc'

Подставим эти значения в выражение для отношения площадей:

(a^2 + b^2 + c^2)/(a'^2 + b'^2 + c'^2) = (k^2b^2 + k^2a^2 + k^2c^2)/(k^2a'^2 + k^2b'^2 + k^2c'^2) = (k^2(a^2 + b^2 + c^2))/(k^2(a'^2 + b'^2 + c'^2)) = 9/16

Упростим это выражение:

(a^2 + b^2 + c^2)/(a'^2 + b'^2 + c'^2) = 9/16 (a^2 + b^2 + c^2) = (9/16)(a'^2 + b'^2 + c'^2) 16(a^2 + b^2 + c^2) = 9(a'^2 + b'^2 + c'^2) 16(a^2 + b^2 + c^2) = 9(a^2k^2 + b^2k^2 + c^2k^2) 16a^2 + 16b^2 + 16c^2 = 9a^2k^2 + 9b^2k^2 + 9c^2k^2 16 = 9k^2

Отсюда получаем, что k = √(16/9) = 4/3.

Таким образом, периметры треугольников также будут пропорциональны, и их отношение будет равно k:

P/P' = (a + b + c)/(a' + b' + c') = (4/3)(b + a' + c)/(b' + a + c') = (4/3)